Hyperbolic discounting

In den Wirtschaftswissenschaften ist das hyperbolische Diskontieren ein zeitinkonsistentes Modell des Diskontierens. Es ist einer der Eckpfeiler der Verhaltensökonomie und wird von Forschern der Neuroökonomie auf der Grundlage des Gehirns aktiv untersucht.

Nach dem Ansatz des diskontierten Nutzens unterscheiden sich intertemporale Entscheidungen nicht von anderen Entscheidungen, mit der Ausnahme, dass einige Konsequenzen verzögert sind und daher antizipiert und diskontiert werden müssen (d. h. neu gewichtet werden müssen, um die Verzögerung zu berücksichtigen).

Bei zwei ähnlichen Belohnungen ziehen Menschen diejenige vor, die schneller eintrifft. Man sagt, der Mensch "diskontiert" den Wert der späteren Belohnung um einen Faktor, der mit der Länge der Verzögerung zunimmt. In der Finanzwelt wird dieser Prozess normalerweise in Form einer exponentiellen Diskontierung modelliert, einem zeitlich konsistenten Modell der Diskontierung. Viele psychologische Studien haben inzwischen gezeigt, dass die instinktive Präferenz von der konstanten Diskontierungsrate, die bei der exponentiellen Diskontierung angenommen wird, abweicht. Die hyperbolische Diskontierung ist ein alternatives mathematisches Modell, das mit diesen Ergebnissen besser übereinstimmt.

Nach dem hyperbolischen Abzinsungsmodell sinken die Bewertungen relativ schnell für frühere Zeiträume (z. B. von jetzt bis zu einer Woche), fallen dann aber langsamer für längere Zeiträume (z. B. mehr als ein paar Tage). In einer frühen Studie gaben die Probanden beispielsweise an, dass es ihnen gleichgültig wäre, ob sie 15 $ sofort oder 30 $ nach drei Monaten, 60 $ nach einem Jahr oder 100 $ nach drei Jahren erhalten würden. Diese Indifferenzen spiegeln jährliche Abzinsungssätze wider, die mit zunehmender Dauer der Verzögerung von 277 % über 139 % auf 63 % sanken. Dies steht im Gegensatz zur exponentiellen Diskontierung, bei der die Bewertung um einen konstanten Faktor pro Zeiteinheit sinkt und der Diskontierungssatz gleich bleibt.

Das Standardexperiment zur Ermittlung der hyperbolischen Diskontierungskurve einer Versuchsperson besteht darin, kurzfristige Präferenzen mit langfristigen Präferenzen zu vergleichen. Zum Beispiel: "Würden Sie heute einen Dollar oder morgen drei Dollar vorziehen?" oder "Würden Sie einen Dollar in einem Jahr oder drei Dollar in einem Jahr und einem Tag vorziehen?" Es wurde behauptet, dass ein erheblicher Teil der Testpersonen heute den geringeren Betrag nehmen würde, aber gerne einen Tag länger warten würde, um stattdessen den höheren Betrag zu erhalten. Personen mit solchen Präferenzen werden als "present-biased" bezeichnet.

Die wichtigste Konsequenz der hyperbolischen Diskontierung ist, dass sie dazu führt, dass kleine, früher eintretende Belohnungen vorübergehend größeren, später eintretenden Belohnungen vorgezogen werden. Personen mit hyperbolischer Diskontierung neigen stark dazu, Entscheidungen zu treffen, die im Laufe der Zeit inkonsistent sind - sie treffen heute Entscheidungen, die ihr zukünftiges Ich lieber nicht getroffen hätte, obwohl es die gleichen Informationen kennt. Diese dynamische Inkonsistenz kommt zustande, weil Hyperbeln den relativen Wert von Optionen mit einem festen Unterschied in der Verzögerung im Verhältnis dazu verzerren, wie weit der Entscheidungsträger von diesen Optionen entfernt ist.

Beobachtungen

Das Phänomen der hyperbolischen Diskontierung ist implizit in Richard Herrnsteins "Matching Law" enthalten, das besagt, dass die meisten Probanden bei der Aufteilung ihrer Zeit oder ihres Aufwands auf zwei nicht exklusive, fortlaufende Belohnungsquellen in direktem Verhältnis zur Rate und Größe der Belohnungen aus den beiden Quellen und in umgekehrtem Verhältnis zu deren Verzögerungen entscheiden. Das heißt, die Entscheidungen der Versuchspersonen "passen" zu diesen Parametern.

Nach dem Bericht über diesen Effekt im Falle der Verzögerung wies George Ainslie darauf hin, dass bei einer einzigen Wahl zwischen einer größeren, späteren und einer kleineren, früheren Belohnung die umgekehrte Proportionalität zur Verzögerung durch ein Diagramm von Wert und Verzögerung beschrieben wird, das eine hyperbolische Form hat, und dass, wenn die kleinere, frühere Belohnung bevorzugt wird, diese Präferenz umgekehrt werden kann, indem die Verzögerung beider Belohnungen um denselben absoluten Betrag erhöht wird. Ainslies Untersuchungen zeigten, dass eine beträchtliche Anzahl von Versuchspersonen angab, dass sie 50 $ sofort gegenüber 100 $ in sechs Monaten bevorzugen würden, aber NICHT 50 $ in drei Monaten gegenüber 100 $ in neun Monaten, obwohl dies die gleiche Wahl mit einem größeren Abstand von drei Monaten war. Noch signifikanter ist, dass die Probanden, die sagten, sie würden 50 Dollar in drei Monaten 100 Dollar in neun Monaten vorziehen, sagten, sie würden NICHT 50 Dollar in 12 Monaten 100 Dollar in 18 Monaten vorziehen - wiederum dasselbe Paar von Optionen in einem anderen Abstand -, was zeigt, dass der Effekt der Präferenzumkehr nicht von der Aufregung abhängt, eine sofortige Belohnung zu erhalten. Er hängt auch nicht von der menschlichen Kultur ab; die ersten Ergebnisse der Präferenzumkehr wurden bei Ratten und Tauben erzielt.

Viele nachfolgende Experimente haben bestätigt, dass die spontanen Präferenzen sowohl menschlicher als auch nicht-menschlicher Versuchspersonen einer hyperbolischen Kurve folgen und nicht der konventionellen exponentiellen Kurve, die zu einer konsistenten Wahl über die Zeit führen würde. Wenn man beispielsweise die Wahl zwischen 50 Dollar jetzt und 100 Dollar in einem Jahr hat, werden viele Menschen die 50 Dollar sofort wählen. Wenn man sie jedoch vor die Wahl zwischen 50 Dollar in fünf Jahren und 100 Dollar in sechs Jahren stellt, entscheiden sich fast alle für 100 Dollar in sechs Jahren, obwohl dies in fünf Jahren die gleiche Wahl ist.

Die hyperbolische Diskontierung steht auch in Zusammenhang mit realen Beispielen für Selbstbeherrschung. In einer Reihe von Studien wurde anhand von Messungen der hyperbolischen Diskontierung festgestellt, dass drogenabhängige Personen verzögerte Konsequenzen stärker abwägen als nicht abhängige Kontrollpersonen, was darauf hindeutet, dass extreme Diskontierung ein grundlegender Verhaltensprozess bei Drogenabhängigkeit ist. Einiges deutet darauf hin, dass pathologische Glücksspieler auch verzögerte Ergebnisse stärker abwägen als vergleichbare Kontrollpersonen. Ob hohe Raten des hyperbolischen Diskontierens einer Sucht vorausgehen oder umgekehrt, ist derzeit nicht bekannt, obwohl einige Studien berichtet haben, dass Personen mit hohen Diskontierraten eher Alkohol und Kokain konsumieren als Personen mit niedrigeren Diskontierraten. Ebenso wurde die Vermutung geäußert, dass ein hohes Maß an hyperbolischer Diskontierung unvorhersehbare (Glücksspiel-)Ergebnisse befriedigender macht.

Der Grad der Diskontierung ist bei der Beschreibung der hyperbolischen Diskontierung von entscheidender Bedeutung, insbesondere bei der Diskontierung von spezifischen Belohnungen wie Geld. Die Diskontierung von monetären Belohnungen variiert in den verschiedenen Altersgruppen aufgrund der unterschiedlichen Diskontierungsrate. Die Rate hängt von einer Vielzahl von Faktoren ab, darunter die beobachtete Spezies, das Alter, die Erfahrung und die Zeit, die für den Verzehr der Belohnung benötigt wird.

Mathematisches Modell

Schrittweise Erklärung

Angenommen, in einer Studie werden die Teilnehmer vor die Wahl gestellt, x Dollar sofort zu nehmen oder y Dollar n Tage später. Nehmen wir weiter an, dass ein Teilnehmer dieser Studie exponentielles Diskontieren und ein anderer hyperbolisches Diskontieren anwendet. Beide Teilnehmer wissen, dass sie das Geld, das sie heute erhalten, in einen Sparplan investieren können, der ihnen eine Verzinsung von r bietet. Beide wissen, dass sie x Dollar sofort nehmen sollten, wenn der zukünftige Wert des Sparplans mehr als y Dollar n Tage später einbringen wird. Jeder Teilnehmer versteht die grundlegende Frage, die gestellt wird, richtig: "Was ist für einen beliebigen Wert von y Dollar und n Tagen der Mindestbetrag x an Dollar, den ich bereit sein sollte zu akzeptieren? Mit anderen Worten, wie viele Dollar müsste ich heute investieren, um y Dollar n Tage später zu erhalten?" Jeder wird x Dollar nehmen, wenn x größer ist als die von ihm berechnete Antwort, und jeder wird y Dollar n Tage von heute an nehmen, wenn x kleiner ist als diese Antwort. Die Methoden, die sie zur Berechnung dieses Betrags verwenden, und die Antworten, die sie erhalten, werden jedoch unterschiedlich sein, und nur der Exponential-Diskontierer wird die richtige Methode verwenden und ein zuverlässig korrektes Ergebnis erhalten:

• Der Exponential-Diskontierer denkt: "Der Sparplan erhöht seinen Wert an jedem Tag um r Prozent des Wertes, den er am Vortag hatte. Er multipliziert also jeden Tag seinen Wert einmal mit (100% + r%). Wenn ich die Anlage also n Tage lang halte, hat sich ihr Wert um diesen Betrag n mal multipliziert, so dass der Wert (100% + r%)ⁿ mal so hoch ist wie zu Beginn - also (1 + r)ⁿ mal so hoch wie zu Beginn. Um also herauszufinden, mit wie viel ich heute beginnen müsste, um y Dollar n Tage später zu erhalten, muss ich y Dollar durch (1 + r)ⁿ teilen."
• Der hyperbolische Diskontierer hingegen denkt: "Der Sparplan erhöht seinen Wert an jedem Tag um r Prozent. Nach n Tagen erhöht sich sein Wert also um r × n Prozent [Hier liegt der Fehler des hyperbolischen Diskonters]. Um also herauszufinden, mit wie viel ich heute anfangen müsste, um y Dollar n Tage später zu erhalten, muss ich y Dollar durch (1 + nr) teilen."

Wenn n sehr groß wird, wird der Wert von (1 + r)ⁿ sehr viel größer als der Wert von (1 + nr), mit dem Effekt, dass der Wert von ${\tfrac {y}{(1+r)^{n}}}$ sehr viel kleiner wird als der Wert von ${\tfrac {y}{1+nr}}.$ Daher ist der Mindestwert von <! --Avx-eqyh38--> (die Anzahl der Dollar in der unmittelbaren Wahl), der ausreicht, um größer als dieser Betrag zu sein, viel kleiner sein, als der hyperbolische Diskonter denkt, mit dem Ergebnis, dass er <! --Avx-eqyh39-->-Werte im Bereich von ${\tfrac {y}{(1+r)^{n}}}$ bis einschließlich ${\tfrac {y}{1+nr}}$ als zu klein empfinden und daher diese Alternativen irrationalerweise ablehnen, obwohl sie in Wirklichkeit die bessere Investition sind.

Formales Modell

Die hyperbolische Diskontierung wird mathematisch wie folgt beschrieben

$$g(D)={\frac {1}{1+kD}}$$

wobei g(D) der Diskontierungsfaktor ist, der den Wert der Belohnung multipliziert, D die Verzögerung der Belohnung ist und k ein Parameter ist, der den Grad der Diskontierung bestimmt (z. B. der Zinssatz). Dies wird mit der Formel für exponentielle Diskontierung verglichen:

$$f(D)=e^{-kD}$$

Vergleich

Betrachten wir $f(D)=2^{-D},$ eine exponentielle Abzinsungsfunktion mit Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle k = \ln 2 \ca. 0,69} und $g(D)={\tfrac {1}{1+D}},$ eine hyperbolische Funktion mit $k=1$, und nehmen wir an, beide verwenden Einheiten von Wochen, um D, die Verzögerung, zu messen. Dann ist die exponentielle Diskontierung in einer Woche ab "jetzt" (D = 0)

$${\frac {f(1)}{f(0)}}={\frac {1}{2}},$$

und die exponentielle Diskontierung von D Wochen Verzögerung bis D + 1 Wochen ist

$${\frac {f(D+1)}{f(D)}}={\frac {1}{2}},$$

Der mit einer zusätzlichen Woche Verspätung verbundene zusätzliche Rabatt ist also derselbe. Für das hyperbolische Modell, das g(D) verwendet, ist der Rabatt für eine Woche ab jetzt

$${\frac {g(1)}{g(0)}}={\frac {1}{2}},$$

was dasselbe ist wie für f im Exponentialmodell, während der inkrementelle Rabatt für eine zusätzliche Woche nach einer Verzögerung von D Wochen nicht derselbe ist:

$${\frac {g(D+1)}{g(D)}}=1-{\frac {1}{D+2}}$$

Daraus kann man ersehen, dass die beiden Modelle der Diskontierung "jetzt" gleich sind; dies ist der Grund für die Wahl der Zinsparameter k. Wenn jedoch D viel größer als 1 ist,

$${\frac {g(D+1)}{g(D)}}\approx 1,$$

so dass die hyperbolische Abzinsung einer zusätzlichen Woche nach einer langen Verzögerung fast überhaupt keine Abzinsung darstellt, während der exponentielle Abzinsungsfaktor immer noch 1/2 beträgt, so dass es immer noch eine erhebliche Abzinsung in der fernen Zukunft gibt. Bei der hyperbolischen Diskontierung wird auf eine zusätzliche Woche Verzögerung über eine bereits große Verzögerung hinaus nur ein sehr geringer Abschlag gewährt, während bei der exponentiellen Diskontierung auf jede Woche Verzögerung ein konstanter Abschlag gewährt wird, unabhängig davon, ob sie weit in der Zukunft oder in der nächsten Woche liegt.

Quasi-hyperbolische Approximation

Die von Laibson (1997) vorgeschlagene "quasi-hyperbolische" Diskontierungsfunktion (manchmal auch "Beta-Delta-Diskontierung" genannt) approximiert die obige hyperbolische Diskontierungsfunktion in diskreter Zeit durch

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle f(D) = \\begin{cases} 1 & D = 0 \\ \beta \delta^D & D = 1, 2, 3, ... \end{cases}}

wobei β und δ Konstanten zwischen 0 und 1 sind; und D ist die Verzögerung der Belohnung, die jetzt aber nur ganzzahlige Werte annimmt. Die Bedingung f(0) = 1 besagt, dass Belohnungen, die zum gegenwärtigen Zeitpunkt genommen werden, nicht diskontiert werden.

Die quasi-hyperbolische Diskontierung behält einen Großteil der analytischen Nachvollziehbarkeit der exponentiellen Diskontierung bei, während sie gleichzeitig die wichtigsten qualitativen Merkmale der hyperbolischen Diskontierung erfasst.

Erläuterungen

Ungewisse Risiken

Ob die Abzinsung künftiger Gewinne rational ist oder nicht - und zu welchem Satz solche Gewinne abgezinst werden sollten - hängt stark von den Umständen ab. In der Finanzwelt gibt es viele Beispiele, bei denen man davon ausgehen kann, dass ein implizites Risiko besteht, dass die Belohnung zu einem zukünftigen Zeitpunkt nicht verfügbar ist, und dass dieses Risiko mit der Zeit zunimmt. Stellen Sie sich vor, Sie zahlen heute 50 Dollar für ein Abendessen oder Sie verzögern die Zahlung um sechzig Jahre und zahlen dann 100.000 Dollar. In diesem Fall wäre es für den Gastronomen vernünftig, den versprochenen zukünftigen Wert abzuzinsen, da ein erhebliches Risiko besteht, dass er nicht gezahlt wird (z. B. durch den Tod des Gastronomen oder des Gastes).

Unsicherheiten dieser Art lassen sich mit der Bayes'schen Analyse quantifizieren. Nehmen wir zum Beispiel an, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Belohnung nach der Zeit t verfügbar ist, bei bekannter Hazardrate λ ist, $P(R_{t}|\lambda )=\exp(-\lambda t),\,$

aber die Rate ist dem Entscheidungsträger unbekannt. Wenn die vorherige Wahrscheinlichkeitsverteilung von λ ist $p(\lambda )=\exp(-\lambda /k)/k,\,$

dann wird der Entscheidungsträger erwarten, dass die Wahrscheinlichkeit der Belohnung nach dem Zeitpunkt t wie folgt ist $P(R_{t})=\int _{0}^{\infty }P(R_{t}|\lambda )p(\lambda )d\lambda ={\frac {1}{1+kt}},\,$

was genau dem hyperbolischen Diskontsatz entspricht. Ähnliche Schlussfolgerungen lassen sich aus anderen plausiblen Verteilungen für λ ziehen.

Anwendungen

In jüngerer Zeit wurden diese Beobachtungen über Diskontierungsfunktionen zur Untersuchung des Sparens für den Ruhestand, des persönlichen Einkommens für die Drogensucht, der Kreditaufnahme mit Kreditkarten und der Prokrastination verwendet. Sie wurde häufig zur Erklärung von Sucht verwendet. Die hyperbolische Diskontierung wurde auch als Erklärung für die Divergenz zwischen der Einstellung zum Schutz der Privatsphäre und dem Verhalten angeboten.

Barwert einer Standardrente

Der Gegenwartswert einer Reihe gleicher jährlicher rückwirkender Zahlungsströme, die hyperbolisch abgezinst werden, ist

$V=P{\frac {\ln(1+kD)}{k}},\,$

wobei V der Gegenwartswert, P der jährliche Cashflow, D die Anzahl der jährlichen Zahlungen und k der Faktor für die Diskontierung ist.

Kritik

Es wurden mehrere alternative Erklärungen für die nicht-exponentielle Diskontierung vorgeschlagen. In einem Artikel aus dem Jahr 2003 wurde festgestellt, dass dieses Muster besser durch eine Ähnlichkeitsheuristik als durch eine hyperbolische Diskontierung erklärt werden könnte. Die Probanden haben auch berichtet, dass sich ihre relativen Präferenzen ändern, wenn sie mehr Details von dem sehen, was sie wählen - ein "zeitlicher Konstruktions"-Effekt.

In einer Studie von Daniel Read wird die "subadditive Diskontierung" vorgestellt: die Tatsache, dass die Diskontierung über eine Verzögerung zunimmt, wenn die Verzögerung in kleinere Intervalle unterteilt wird. Diese Hypothese kann das Hauptergebnis vieler Studien erklären, die für eine hyperbolische Diskontierung sprechen - die Beobachtung, dass die Ungeduld mit der Zeit abnimmt - und gleichzeitig Beobachtungen erklären, die von der hyperbolischen Diskontierung nicht vorhergesagt werden. Obwohl diese Beobachtungen von der exponentiellen Diskontierung abweichen, führen sie nicht zu einer Umkehrung der Präferenz, wenn die Zeit zwischen der Wahl und der früheren Belohnung zunimmt.

Die Erregung von Appetit oder Emotionen führt manchmal zu einer Präferenzumkehr, und dies ist die am weitesten akzeptierte Alternative zu einer einfachen hyperbolischen Funktion: Hyperbolische oder quasi-hyperbolische Diskontierung verschmilzt exponentielle Kurven mit einem Erregungsanstieg, wenn eine viszerale Belohnung unmittelbar bevorsteht. Solche Fälle sind natürlich wichtig, aber sie berücksichtigen nicht die Fälle, in denen entweder beide oder keine Entscheidung während der Erregung getroffen wird.

Der offensichtlichste Einwand gegen die hyperbolische Diskontierung ist, dass viele oder die meisten Menschen lernen, in den meisten Situationen im Laufe der Zeit konsistent zu wählen. In einem Artikel aus dem Jahr 2014 wird kritisiert, dass die vorhandenen Studien überwiegend Daten von Universitätsstudenten verwenden und zu schnell zu dem Schluss kommen, dass das hyperbolische Modell der Diskontierung korrekt ist. In Humanexperimenten wurden häufig große Unterschiede zwischen den Probanden festgestellt. Wenn die Überwindung der Tendenz zur vorübergehenden Präferenz ein Lernprozess ist, besteht die nächste offensichtliche Aufgabe für Experimentatoren darin, Theorien darüber zu testen, wie und wann dieser Lernprozess stattfindet (z. B. Ainslie, 2012).

Weiterführende Literatur

• Ainslie, G. W. (1975). "Specious reward: A behavioral theory of impulsiveness and impulsive control". Psychological Bulletin. 82 (4): 463–496. doi:10.1037/h0076860. PMID 1099599. S2CID 10279574.
• Ainslie, G. (1992). Picoeconomics: The Strategic Interaction of Successive Motivational States Within the Person. Cambridge: Cambridge University Press.
• Ainslie, G. (2001). Breakdown of Will. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59694-7.
• Rachlin, H. (2000). The Science of Self-Control. Cambridge; London: Harvard University Press.