Weber–Fechner law

An illustration of the Weber–Fechner law. On each side, the lower square contains 10 more dots than the upper one. However the perception is different: On the left side, the difference between upper and lower square is clearly visible. On the right side, the two squares look almost the same.

Die Weber-Fechner-Gesetze sind zwei miteinander verwandte wissenschaftliche Gesetze auf dem Gebiet der Psychophysik, bekannt als Webersches Gesetz und Fechnersches Gesetz. Beide beziehen sich auf die menschliche Wahrnehmung, genauer gesagt auf das Verhältnis zwischen der tatsächlichen Veränderung eines physikalischen Reizes und der wahrgenommenen Veränderung. Dazu gehören Reize für alle Sinne: Sehen, Hören, Schmecken, Tasten und Riechen.

Ernst Heinrich Weber stellt fest, dass "die minimale Zunahme des Reizes, die eine wahrnehmbare Zunahme der Empfindung hervorruft, proportional zu dem bereits vorhandenen Reiz ist", während Gustav Fechners Gesetz eine Ableitung aus Webers Gesetz (mit zusätzlichen Annahmen) ist, die besagt, dass die Intensität unserer Empfindung mit dem Logarithmus einer Energiezunahme und nicht so schnell wie die Zunahme zunimmt.

Geschichte und Formulierung der Gesetze

Sowohl das Webersche Gesetz als auch das Fechnersche Gesetz wurden von Gustav Theodor Fechner (1801-1887) formuliert. Sie wurden erstmals 1860 in dem Werk Elemente der Psychophysik veröffentlicht. Diese Veröffentlichung war das erste Werk auf diesem Gebiet überhaupt, in dem Fechner den Begriff Psychophysik prägte, um die interdisziplinäre Untersuchung der menschlichen Wahrnehmung physikalischer Größen zu beschreiben. Er stellte die Behauptung auf, dass "...die Psychophysik eine exakte Lehre von der Funktions- oder Abhängigkeitsbeziehung zwischen Körper und Seele ist."

Webersches Gesetz

Ernst Heinrich Weber (1795-1878) war einer der ersten, der sich der Untersuchung der menschlichen Reaktion auf einen physikalischen Reiz auf quantitative Weise näherte. Fechner war ein Schüler von Weber und benannte sein erstes Gesetz zu Ehren seines Mentors, da Weber die für die Formulierung des Gesetzes erforderlichen Experimente durchgeführt hatte.

Fechner formulierte mehrere Versionen des Gesetzes, die alle die gleiche Idee vermittelten. Eine Formulierung lautet:

Simple differential sensitivity is inversely proportional to the size of the components of the difference; relative differential sensitivity remains the same regardless of size.

Das bedeutet, dass die wahrgenommene Veränderung der Reize umgekehrt proportional zu den Ausgangsreizen ist.

Das Webersche Gesetz berücksichtigt auch den gerade noch wahrnehmbaren Unterschied (JND). Dies ist die kleinste wahrnehmbare Veränderung der Reize. Wie bereits erwähnt, ist die JND dS proportional zur Intensität des Ausgangsreizes S. Mathematisch kann sie beschrieben werden als $dS=K\cdot S$ wobei $S$ der Referenzreiz und $K$ eine Konstante ist. Es kann als Ψ = k logS geschrieben werden, wobei Ψ die Empfindung, $k$ eine Konstante und $S$ die physikalische Intensität des Reizes ist.

Das Webersche Gesetz versagt immer bei niedrigen Intensitäten, nahe und unterhalb der absoluten Wahrnehmungsschwelle, und oft auch bei hohen Intensitäten, kann aber in einem breiten mittleren Intensitätsbereich annähernd zutreffen.

Weber-Kontrast

Obwohl das Webersche Gesetz eine Aussage über die Proportionalität einer wahrgenommenen Veränderung zu den Ausgangsreizen enthält, bezieht sich Weber nur darauf als Faustregel für die menschliche Wahrnehmung. Es war Fechner, der diese Aussage als einen mathematischen Ausdruck formulierte, der als Weber-Kontrast bezeichnet wird.

$$dp={\frac {dS}{S}}\,\!$$

Der Weber-Kontrast ist nicht Teil des Weberschen Gesetzes.

Fechnersches Gesetz

Fechner stellte in seinen eigenen Studien fest, dass verschiedene Personen eine unterschiedliche Empfindlichkeit für bestimmte Reize haben. So könnte beispielsweise die Fähigkeit, Unterschiede in der Lichtintensität wahrzunehmen, damit zusammenhängen, wie gut die Sehkraft der betreffenden Person ist. Er stellte auch fest, dass sich die Empfindlichkeit des Menschen gegenüber Reizen verändert, je nachdem, welcher Sinn betroffen ist. Dies nutzte er, um eine andere Version des Weberschen Gesetzes zu formulieren, die er die Maßformel nannte. Das Fechnersche Gesetz besagt, dass die subjektive Empfindung proportional zum Logarithmus der Reizstärke ist. Diesem Gesetz zufolge funktioniert die menschliche Seh- und Hörwahrnehmung wie folgt: Die wahrgenommene Lautstärke/Helligkeit ist proportional zum Logarithmus der tatsächlichen Intensität, die mit einem genauen, nichtmenschlichen Instrument gemessen wurde.

$$p=k\ln {\frac {S}{S_{0}}}\,\!$$

Die Beziehung zwischen Stimulus und Wahrnehmung ist logarithmisch. Diese logarithmische Beziehung bedeutet, dass, wenn ein Reiz in geometrischer Progression variiert (d. h. mit einem festen Faktor multipliziert), die entsprechende Wahrnehmung in arithmetischer Progression verändert wird (d. h. in additiv konstanten Beträgen). Wird zum Beispiel die Stärke eines Reizes verdreifacht (d.h. 3 × 1), kann die entsprechende Wahrnehmung doppelt so stark sein wie der ursprüngliche Wert (d.h. 1 + 1). Wird die Stärke des Reizes noch einmal verdreifacht (d. h. 3 × 3 × 1), ist die entsprechende Wahrnehmung dreimal so stark wie der ursprüngliche Wert (d. h. 1 + 1 + 1). Bei einer Vervielfachung der Reizstärke addiert sich die Wahrnehmungsstärke also nur. Die mathematischen Ableitungen der Drehmomente an einer einfachen Balkenwaage ergeben eine Beschreibung, die mit dem Weberschen Gesetz streng vereinbar ist.

Da das Webersche Gesetz bei geringer Intensität versagt, gilt auch das Fechnersche Gesetz.

Eine frühe Erwähnung des "Fechner'schen ... Gesetzes" erfolgte 1875 durch Ludimar Hermann in "Elemente der menschlichen Physiologie".

Ableitung des Fechnerschen Gesetzes

Das Fechnersche Gesetz ist eine mathematische Ableitung des Weberschen Kontrasts.

$$dp=k{\frac {dS}{S}}$$

Die Integration des mathematischen Ausdrucks für den Weber-Kontrast ergibt:

$$p=k\ln {S}+C$$

wobei $C$ eine Integrationskonstante und ln der natürliche Logarithmus ist.

Zur Lösung von $C$ wird angenommen, dass der wahrgenommene Reiz bei einem Schwellenreiz $S_{0}$ Null wird. Mit dieser Einschränkung setzen wir $p=0$ und $S=S_{0}$. Dies ergibt:

$$C=-k\ln {S_{0}}$$

Setzt man $C$ in den integrierten Ausdruck für das Webersche Gesetz ein, so kann der Ausdruck wie folgt geschrieben werden:

$$p=k\ln {\frac {S}{S_{0}}}$$

Die Konstante k ist sinnesspezifisch und muss je nach Sinn und Art des Reizes bestimmt werden.

Arten der Wahrnehmung

Weber und Fechner untersuchten Unterschiede in der Lichtintensität und den wahrgenommenen Unterschied im Gewicht. Andere Sinnesmodalitäten unterstützen entweder das Webersche Gesetz oder das Fechnersche Gesetz nur bedingt.

Gewichtswahrnehmung

Weber fand heraus, dass der gerade noch wahrnehmbare Unterschied (JND) zwischen zwei Gewichten ungefähr proportional zu den Gewichten ist. Wenn also das Gewicht von 105 g (gerade noch) von dem von 100 g unterschieden werden kann, beträgt die JND (oder Differenzschwelle) 5 g. Wenn die Masse verdoppelt wird, verdoppelt sich auch die Differenzschwelle auf 10 g, so dass 210 g von 200 g unterschieden werden können. In diesem Beispiel muss ein Gewicht (egal welches) offenbar um 5 % zunehmen, damit jemand die Zunahme zuverlässig erkennen kann, und dieser minimal erforderliche Bruchteil der Zunahme (von 5/100 des ursprünglichen Gewichts) wird als "Weber-Bruchteil" für die Erkennung von Gewichtsänderungen bezeichnet. Andere Unterscheidungsaufgaben, wie z. B. das Erkennen von Änderungen der Helligkeit oder der Tonhöhe (Reintonfrequenz) oder der Länge einer auf einem Bildschirm angezeigten Linie, können unterschiedliche Weber-Bruchteile haben, aber sie alle gehorchen dem Weber'schen Gesetz insofern, als sich beobachtete Werte zumindest um einen kleinen, aber konstanten Anteil des aktuellen Wertes ändern müssen, damit menschliche Beobachter diese Änderung zuverlässig erkennen können.

Fechner führte keine Experimente dazu durch, wie die wahrgenommene Schwere mit der Masse des Reizes zunahm. Stattdessen nahm er an, dass alle JNDs subjektiv gleich sind, und argumentierte mathematisch, dass sich daraus ein logarithmisches Verhältnis zwischen der Reizstärke und der Empfindung ergibt. Diese Annahmen sind beide in Frage gestellt worden. Im Anschluss an die Arbeiten von S. S. Stevens kamen viele Forscher in den 1960er Jahren zu der Überzeugung, dass das Stevens'sche Potenzgesetz ein allgemeineres psychophysikalisches Prinzip ist als das logarithmische Gesetz von Fechner.

Klang

Das Webersche Gesetz gilt nicht ganz für die Lautstärke. Es ist ein guter Näherungswert für höhere Intensitäten, aber nicht für niedrigere Amplituden.

Einschränkung des Weberschen Gesetzes im auditorischen System

Das Webersche Gesetz gilt nicht für die Wahrnehmung höherer Intensitäten. Die Intensitätsunterscheidung verbessert sich bei höheren Intensitäten. Die erste Demonstration dieses Phänomens wurde 1928 von Riesz in Physical Review vorgestellt. Diese Abweichung vom Weberschen Gesetz ist als "near miss" des Weberschen Gesetzes bekannt. Dieser Begriff wurde von McGill und Goldberg in ihrer Arbeit von 1968 in Perception & Psychophysics geprägt. Ihre Studie befasste sich mit der Intensitätsunterscheidung bei reinen Tönen. Weitere Studien haben gezeigt, dass der Beinahe-Fehlschuss auch bei Geräuschreizen beobachtet wird. Jesteadt et al. (1977) wiesen nach, dass der Near Miss für alle Frequenzen gilt und dass die Intensitätsunterscheidung keine Funktion der Frequenz ist und dass die Veränderung der Unterscheidung mit dem Pegel durch eine einzige Funktion für alle Frequenzen dargestellt werden kann: $\Delta I/I=0.463{(I/I_{0})}^{-0.072}$.

Sehen

Uneven light from a window.

The same light, redistributed by prism tiles in the window.

Because of the ~logarithmic perception of light levels, if light is redistributed from the brightest parts of a room to the dimmest, the room appears brighter overall, and more space can be given a useful and comfortable level of illumination.

Das Auge nimmt die Helligkeit über einen moderaten Bereich annähernd logarithmisch wahr, und die Helligkeit von Sternen wird auf einer logarithmischen Skala gemessen. Diese Magnitudenskala wurde von dem antiken griechischen Astronomen Hipparchus um 150 v. Chr. erfunden. Er ordnete die Sterne, die er sehen konnte, nach ihrer Helligkeit ein, wobei 1 für die hellste bis 6 für die schwächste Helligkeit stand, obwohl die Skala inzwischen über diese Grenzen hinaus erweitert wurde; eine Zunahme um 5 Magnituden entspricht einer Abnahme der Helligkeit um den Faktor 100. Moderne Forscher haben versucht, solche Wahrnehmungseffekte in mathematische Modelle des Sehens einzubeziehen.

Grenzen des Weberschen Gesetzes bei der visuellen Regelmäßigkeitswahrnehmung

Die Wahrnehmung von Glasmustern und Spiegelsymmetrien in Gegenwart von Rauschen folgt dem Weberschen Gesetz im mittleren Bereich des Verhältnisses von Regelmäßigkeit zu Rauschen (S), aber in den beiden äußeren Bereichen ist die Empfindlichkeit gegenüber Abweichungen unverhältnismäßig geringer. Wie Maloney, Mitchison & Barlow (1987) für Glasmuster und van der Helm (2010) für Spiegelsymmetrien gezeigt haben, folgt die Wahrnehmung dieser visuellen Regelmäßigkeiten im gesamten Bereich der Regelmäßigkeits-Rausch-Verhältnisse dem Gesetz p = g/(2+1/S), wobei der Parameter g anhand experimenteller Daten geschätzt werden muss.

Einschränkung des Weberschen Gesetzes bei geringen Lichtverhältnissen

Threshold increment versus background luminance for various target diameters (in arcmin). Data from tables 4 and 8 of Blackwell (1946), plotted in Crumey (2014).

Für das Sehen setzt das Webersche Gesetz die Konstanz des Leuchtdichtekontrasts voraus. Angenommen, ein Zielobjekt steht vor einer Hintergrundleuchtdichte $B$. Um gerade noch sichtbar zu sein, muss das Zielobjekt um einen kleinen Betrag $\Delta B$ heller oder schwächer als der Hintergrund sein. Der Weber-Kontrast ist definiert als $C=\Delta B/B$, und das Webersche Gesetz besagt, dass $C$ für alle $B$ konstant sein sollte.

Das menschliche Sehvermögen folgt bei normalem Tageslicht (d. h. im photopischen Bereich) genau dem Weberschen Gesetz, beginnt jedoch bei Dämmerung (im mesopischen Bereich) zu versagen und ist bei schwachem Licht (skotopisches Sehen) völlig unanwendbar. Dies geht aus den von Blackwell gesammelten und von Crumey aufgezeichneten Daten hervor, die den Schwellenwert log$\Delta B$ gegen die Hintergrundleuchtdichte log$B$ für verschiedene Zielgrößen zeigen. Bei Tageslicht sind die Kurven annähernd gerade mit der Steigung 1, d.h. log$\Delta B$ = log$B+const.$, was bedeutet, dass $C=\Delta B/B$ konstant ist. Bei den sehr dunklen Hintergrundpegeln ($B$ ≲ 10^{- 5} cd m^-2, etwa 25 mag arcsec^-2) sind die Kurven flach - hier ist die einzige visuelle Wahrnehmung das eigene neuronale Rauschen des Beobachters ("dunkles Licht"). Im mittleren Bereich kann ein Teil durch das De Vries-Rose-Gesetz angenähert werden, das mit dem Ricco-Gesetz verwandt ist.

Logarithmische Kodierungsschemata für Neuronen

Logarithmische Verteilungen

Die Aktivierung von Neuronen durch sensorische Reize erfolgt in vielen Teilen des Gehirns nach einem proportionalen Gesetz: Neuronen ändern ihre Spike-Rate um etwa 10-30 %, wenn ein Reiz (z. B. eine natürliche Szene beim Sehen) auf sie einwirkt. Allerdings, wie Scheler (2017) zeigte, ist die Populationsverteilung der intrinsischen Erregbarkeit oder Verstärkung eines Neurons eine Heavy-Tail-Verteilung, genauer gesagt eine lognormale Form, die einem logarithmischen Kodierungsschema entspricht. Neuronen können daher mit 5-10fach unterschiedlichen mittleren Raten spiken. Dies vergrößert natürlich den dynamischen Bereich einer neuronalen Population, während reizbedingte Veränderungen klein und linear proportional bleiben.

Eine Analyse der Länge von Kommentaren in Internet-Diskussionsforen in mehreren Sprachen zeigt, dass die Länge der Kommentare mit großer Genauigkeit der Lognormalverteilung folgt. Die Autoren erklären diese Verteilung als eine Ausprägung des Weber-Fechner-Gesetzes.

Andere Anwendungen

Das Weber-Fechner-Gesetz wurde auch in anderen Forschungsbereichen als nur den menschlichen Sinnen angewandt.

Numerische Kognition

Psychologische Studien zeigen, dass es zunehmend schwieriger wird, zwischen zwei Zahlen zu unterscheiden, wenn der Unterschied zwischen ihnen kleiner wird. Dies wird als Abstandseffekt bezeichnet. Dies ist wichtig in Bereichen, in denen es um die Einschätzung von Größenordnungen geht, z. B. beim Umgang mit großen Skalen und beim Schätzen von Entfernungen. Er könnte auch eine Rolle dabei spielen, zu erklären, warum Verbraucher nicht einkaufen, um einen kleinen Prozentsatz bei einem großen Kauf zu sparen, sondern einkaufen, um einen großen Prozentsatz bei einem kleinen Kauf zu sparen, der einen viel kleineren absoluten Dollarbetrag darstellt.

Pharmakologie

Es wurde die Hypothese aufgestellt, dass Dosis-Wirkungs-Beziehungen dem Weber'schen Gesetz folgen können, das besagt, dass dieses Gesetz - das oft auf der sensorischen Ebene angewandt wird - von den zugrundeliegenden Chemorezeptor-Reaktionen auf zelluläre Signal-Dosis-Beziehungen im Körper herrührt. Die Dosis-Wirkungs-Beziehung kann mit der Hill-Gleichung in Beziehung gesetzt werden, die eher einem Potenzgesetz entspricht.

Öffentliche Finanzen

Es gibt einen neuen Zweig in der Literatur über öffentliche Finanzen, der die Hypothese aufstellt, dass das Weber-Fechner-Gesetz die steigenden öffentlichen Ausgaben in reifen Demokratien erklären kann. Von Wahl zu Wahl verlangen die Wähler mehr öffentliche Güter, um effektiv beeindruckt zu werden; daher versuchen die Politiker, das Ausmaß dieses "Signals" der Kompetenz - den Umfang und die Zusammensetzung der öffentlichen Ausgaben - zu erhöhen, um mehr Stimmen zu erhalten.

Emotionen

Vorläufige Untersuchungen haben ergeben, dass angenehme Emotionen dem Weberschen Gesetz entsprechen, wobei die Genauigkeit bei der Beurteilung ihrer Intensität mit zunehmender Angenehmlichkeit abnimmt. Bei unangenehmen Emotionen wurde dieses Muster jedoch nicht beobachtet, was darauf hindeutet, dass es für das Überleben notwendig ist, negative Emotionen mit hoher Intensität genau zu erkennen.

Weiterführende Literatur

• Ries, Clemens (1962). Normung nach Normzahlen [Standardization by preferred numbers] (1 ed.). Berlin l: Duncker & Humblot Verlag. ISBN 978-3-42801242-8. (135 Seiten)
• Paulin, Eugen (2007-09-01). Logarithmen, Normzahlen, Dezibel, Neper, Phon – natürlich verwandt! [Logarithms, preferred numbers, decibel, neper, phon – naturally related!] (PDF). Archived (PDF) from the original on 2016-12-18. Retrieved 2016-12-18.

Externe Links

• Fry, Hannah (25 May 2018). "Weber's Law" (video). YouTube. Brady Haran. Archived from the original on 2021-12-12. Retrieved 28 May 2018.